Національний технічний університет України «Київский політехнічний інститут» Лабораторна робота №1 Спектральний аналіз та синтез періодичних сигналів Студента ІІІ курсу ФТІ Групи ФБ-71 Петрука Кирила Київ-2009Мета роботи: Дослідження амплітудного і фазового спектрів і спектра потужностей періодичної послідовності клерувальних сигналів складної форми. Оцінка точності апроксимації для сигналів складної форми в залежності від кількості членів ряду Фур’є. Вивчення явища Гіббса. Визначення зв’язку між параметрами періодичної послідовності імпульсів та її спектром. Хід роботи: Для початку введемо наші дані:





Далі запишемо рівняння функції на відрізку [–Т/2;Т/2] та побудуємо графік: Далі запишемо вирази для коефіцієнтів тригонометричного ряду Фур’є для даної функції:



Оскільки функція парна, то всі
рівні нулю, а отже Також обчислюємо фазу для всіх n за формулою:





Побудуємо амплітудний та фазовий спектри

Побудуємо спектр потужності, використовуючи теорему Парсеваля:


Далі проведемо оцінку точності представлення сигналу рядом Фур’є. Кількісно точність представлення сигналу рядом Фур’є зручно оцінювати за допомогою відносної помилки апроксимації за потужністю:



Для дослідження явища Гіббса і залежності параметрів спектра від співвідношення періоду і тривалості імпульсів уведемо вихідні дані для нашої послідовності:
Побудуємо графік та переходимо до обчислень.











Запишемо ряд у вигляді:

Для наочності побудуємо на одному графіку v(t,N) та u2(t) для N=5
Для зручності можна розглядати лише вершини: Аналогічно побудуємо на одному графіку v(t,N) та u2(t) для N=30
і для N=100
Як бачимо з графіків вершина стає все гострішою при збільшенні кількості гармонік. Дослідимо форму амплітудного та фазового спектра сигналу при збільшенні періоду Т у кілька разів: Т=1

Т=3

Т=5

Т=10

Т=20

Висновки: В ході лабораторної роботи ми дослідили амплітудні, фазові спектри, а також спектри потужностей періодичного сигналу, оцінили точність апроксимації для сигналів складної форми в залежності від числа членів ряду Фур’є, що враховуються. Також встановили, що при збільшенні числа врахованих гармонік вершина сигналу приймає інший вигляд (спостерігаємо ефект Гіббса). Також встановили, що при збільшенні періоду спектр стає густішим, а перша гармоніка має частоту в n разів меншу, де n= у скільки разів збільшено період.